Новости Из сада Апери: как странные формулы изменили теорию рациональных чисел

[NewsMaker]

История гения, опередившего время.

---

---

В июне 1978 года на математической конференции в Марселе Роджер Апер сделал заявление, которое поначалу казалось провокацией. Он объявил, что доказал иррациональность числа ζ(3) — значения Для просмотра ссылки Войди или Зарегистрируйся при аргументе 3. Его доклад вызвал бурную реакцию, включая смех, недоверие и даже бросание бумажных самолётиков, но в итоге оказался верным. Это открытие стало поворотным моментом в теории чисел, а Для просмотра ссылки Войди или Зарегистрируйся получил признание как революционный, хотя долгое время оставался мало понятным.

Иррациональные числа — такие, которые невозможно представить в виде дроби из двух целых чисел, — встречаются повсюду в математике. Например, числа π и e, чья иррациональность была доказана ещё в XVIII веке, имеют ключевое значение в геометрии и анализе. Однако доказательства иррациональности других чисел, таких как ζ(3), долгое время оставались недостижимыми. Метод Апери, основанный на построении специальных последовательностей дробей, показал, что ζ(3) не является рациональным, но его подход казался настолько необычным, что коллеги называли его «сочетанием чудес и загадок».

После признания доказательства многие математики надеялись, что эта техника приведёт к лавине новых открытий. Однако, несмотря на ожидания, метод Апери оказался трудно применим к другим значениям дзета-функции. Математики называли его «изолированным чудом». Но в 2021 году работа Для просмотра ссылки Войди или Зарегистрируйся , Весселина Димитрова и Для просмотра ссылки Войди или Зарегистрируйся дала новый импульс исследованиям.

Эти учёные не только подтвердили иррациональность целого класса чисел, связанных с дзета-функцией, но и показали, что метод Апери можно встроить в более широкую математическую структуру, связанную с Для просмотра ссылки Войди или Зарегистрируйся . Модулярные формы — это сложные математические объекты, имеющие ключевое значение в теории чисел. Они играют важную роль в Для просмотра ссылки Войди или Зарегистрируйся , которая направлена на создание «великой объединяющей теории математики». Например, модулярные формы связаны с распределением простых чисел и различными классами Для просмотра ссылки Войди или Зарегистрируйся , обобщающих дзета-функцию.

Новый подход позволил доказать иррациональность чисел вида ζ(2) с изменёнными числителями (например, L(2), где числители следуют паттерну 1, -1, 0, 1, -1, 0 и т.д.). Это открыло путь к изучению ещё более сложных объектов, таких как Для просмотра ссылки Войди или Зарегистрируйся — число, которое математики пытаются изучить более 150 лет.

Работа Калегари, Димитрова и Тана также опирается на идеи XIX века, включая обобщения классического анализа. Их метод включает анализ сложных функций, построенных вокруг последовательностей дробей, связанных с изучаемыми числами. С помощью новых техник исследователи смогли обойти традиционные ограничения, расширив область применения метода Апери. Как отметил Вадим Зудилин, этот подход представляет собой «абсолютно новый критерий для доказательства иррациональности».

Результаты работы группы учёных вдохновили математиков по всему миру. Теперь они надеются, что аналогичные методы позволят продвинуться в изучении модулярных форм, L-функций и иррациональности сложных чисел. Как выразился один из исследователей: «Это не конец истории, а её начало».

Таким образом, спустя десятилетия после презентации Апери, его идеи находят продолжение, связывая фундаментальные концепции теории чисел с современными математическими задачами. Новый подход к доказательствам иррациональности обещает открыть новые горизонты в изучении числовой оси — одной из самых загадочных областей математики.